Calcolatrice logaritmi
Calcola logaritmi in base 10 (log), base e (ln) o qualsiasi base personalizzata. Mostra anche la formula del cambio base.
Le tre proprietà fondamentali
- Logaritmo di un prodotto: log(x · y) = log(x) + log(y)
- Logaritmo di un quoziente: log(x / y) = log(x) − log(y)
- Logaritmo di una potenza: log(xn) = n · log(x)
Queste proprietà trasformano operazioni complesse (moltiplicazioni, divisioni, potenze) in operazioni più semplici (somme, sottrazioni, moltiplicazioni). Prima dell'elettronica, le tavole logaritmiche erano usate per fare calcoli a mano.
Valori utili da memorizzare
| log₁₀(1) = 0 | log₁₀(10) = 1 | log₁₀(100) = 2 |
| log₁₀(1.000) = 3 | log₁₀(10⁶) = 6 | log₁₀(0,1) = −1 |
| ln(1) = 0 | ln(e) = 1 | ln(e²) = 2 |
| ln(10) ≈ 2,302 | log₁₀(2) ≈ 0,301 | log₂(10) ≈ 3,322 |
Applicazioni pratiche
- Scala Richter (terremoti): logaritmica in base 10. Magnitudo 7 = 10× più potente di 6.
- Scala dei decibel (suono): 10 · log₁₀(rapporto di intensità).
- pH chimico: pH = −log₁₀([H⁺]).
- Crescita esponenziale: il logaritmo "linearizza" curve esponenziali (utile per grafici).
- Informatica: complessità di algoritmi (binary search = O(log n)).
Domande frequenti
01. Cos'è un logaritmo? +
Il logaritmo log_b(x) è l'esponente a cui elevare la base b per ottenere x. Esempio: log₂(8) = 3 perché 2³ = 8. È l'operazione inversa dell'elevamento a potenza.
02. Differenza tra log, ln e log_b? +
log (senza base): di solito sottinteso log₁₀ (base 10). ln: logaritmo naturale, base e ≈ 2,71828. log_b: base qualsiasi (specificata in pedice).
03. Come si calcola log con base diversa da 10? +
Formula del cambio base: log_b(x) = ln(x) / ln(b) (oppure log₁₀(x) / log₁₀(b)). Esempio: log_2(8) = ln(8) / ln(2) ≈ 2,079/0,693 = 3.
04. Perché si usa il logaritmo naturale (ln)? +
Perché compare naturalmente in molte formule di matematica avanzata, fisica, statistica e finanza (es. interesse composto continuo). La base e è la 'più naturale' dal punto di vista del calcolo differenziale.
05. Logaritmo di un numero negativo? +
Nei numeri reali non esiste: nessuna potenza di un numero positivo dà un risultato negativo. Nei numeri complessi è definito, ma raramente serve a livello scolastico.