Calcolatrice integrali: come si calcolano e quando serve la macchina
L'integrale è l'operazione inversa della derivata: dato un tasso di variazione, ricostruisce la funzione originale. È il secondo pilastro del calcolo infinitesimale, fondamentale in fisica per calcolare aree, volumi, lavoro e impulso.
Integrale indefinito vs definito
L'integrale indefinito di f(x), scritto ∫f(x) dx, è la famiglia delle primitive di f: tutte le funzioni la cui derivata è f. Si scrive sempre con la costante additiva + C: ∫2x dx = x² + C.
L'integrale definito tra due estremi a e b, scritto ∫ab f(x) dx, è un numero: rappresenta l'area sotto il grafico di f tra le due rette verticali x = a e x = b. Si calcola con il teorema fondamentale del calcolo: trova una primitiva F, e fai F(b) − F(a).
Tabella delle primitive elementari
| f(x) | ∫f(x) dx |
|---|---|
| k | kx + C |
| xn (n ≠ −1) | xn+1 / (n+1) + C |
| 1/x | ln|x| + C |
| ex | ex + C |
| ax | ax / ln(a) + C |
| sin(x) | −cos(x) + C |
| cos(x) | sin(x) + C |
| 1/cos²(x) | tan(x) + C |
| 1 / √(1 − x²) | arcsin(x) + C |
| 1 / (1 + x²) | arctan(x) + C |
Le tre tecniche fondamentali
1. Sostituzione
Se f(g(x)) · g'(x), poni u = g(x) e du = g'(x) dx. Esempio: ∫2x · cos(x²) dx. Pongo u = x², du = 2x dx. L'integrale diventa ∫cos(u) du = sin(u) + C = sin(x²) + C.
2. Integrazione per parti
Formula: ∫f · g' dx = f · g − ∫f' · g dx. Esempio: ∫x · ex dx. Pongo f = x, g' = ex. Allora f' = 1, g = ex. Ottengo: x · ex − ∫ex dx = x · ex − ex + C = ex(x − 1) + C.
3. Decomposizione in fratti semplici
Per integrare P(x) / Q(x) (rapporto di polinomi), si scompone in somma di frazioni più semplici. Esempio: 1 / (x² − 1) = 1 / [(x−1)(x+1)] = (1/2) · [1/(x−1) − 1/(x+1)]. L'integrale diventa (1/2) · [ln|x−1| − ln|x+1|] + C.
Esempio svolto: integrale definito
Calcola ∫0π sin(x) dx.
La primitiva di sin(x) è −cos(x). Quindi:
[−cos(x)]0π = −cos(π) − (−cos(0)) = −(−1) − (−1) = 1 + 1 = 2
Calcolo numerico con la calcolatrice
Le calcolatrici scientifiche (Casio fx-570/991, Sharp EL-W506T) calcolano integrali definiti numericamente con il metodo di Simpson o Gauss-Kronrod. Su Casio:
- Premi il tasto
∫((sopra il9) - Inserisci: funzione, virgola, estremo inferiore, virgola, estremo superiore
- Esempio:
∫(sin(X), 0, π) = 2
Per integrali con singolarità, oscillanti o con estremi infiniti la calcolatrice può dare risultati imprecisi: in quei casi conviene fare il calcolo simbolico con un CAS (WolframAlpha, Maxima) o impostare manualmente il metodo di integrazione numerica più adatto.
A cosa servono gli integrali
- Aree e volumi: l'area sotto una curva, il volume di un solido di rotazione.
- Fisica: lo spazio percorso è l'integrale della velocità rispetto al tempo, il lavoro è l'integrale della forza per lo spostamento.
- Probabilità: la probabilità che una variabile continua sia in un intervallo è l'integrale della densità di probabilità su quell'intervallo.
- Economia: il surplus del consumatore è l'area tra la curva di domanda e il prezzo di mercato.
Strumenti correlati
- Calcolatrice scientifica — per integrali numerici
- Derivate — l'operazione inversa
- Calcolatrice equazioni
Nota: questa pagina è una sintesi didattica. Per il calcolo simbolico di integrali complessi usa WolframAlpha o un altro CAS.