Calcolatrice derivate: come si calcolano e quando serve la macchina
La derivata di una funzione misura quanto rapidamente la funzione varia nei pressi di un punto. È il concetto cardine del calcolo differenziale, alla base di fisica, economia e statistica. Vediamo le regole essenziali e quando una calcolatrice può aiutare.
Cos'è una derivata
Data una funzione f(x), la sua derivata in un punto x₀ è il limite del rapporto incrementale: f'(x₀) = limh→0 [f(x₀+h) − f(x₀)] / h. Geometricamente, è il coefficiente angolare della retta tangente al grafico in quel punto. Se la derivata è positiva, la funzione cresce; se negativa, decresce; se è zero, c'è un punto stazionario (massimo, minimo o flesso).
Tabella delle derivate elementari
| Funzione f(x) | Derivata f'(x) |
|---|---|
| k (costante) | 0 |
| x | 1 |
| xn | n · xn−1 |
| √x | 1 / (2√x) |
| 1/x | −1/x² |
| ex | ex |
| ax | ax · ln(a) |
| ln(x) | 1/x |
| loga(x) | 1 / (x · ln(a)) |
| sin(x) | cos(x) |
| cos(x) | −sin(x) |
| tan(x) | 1/cos²(x) = 1 + tan²(x) |
| arcsin(x) | 1 / √(1 − x²) |
| arctan(x) | 1 / (1 + x²) |
Le quattro regole di derivazione
1. Somma e differenza
(f + g)' = f' + g'. La derivata di una somma è la somma delle derivate. Esempio: f(x) = 3x² + 5x − 7 ha derivata f'(x) = 6x + 5.
2. Prodotto
(f · g)' = f' · g + f · g'. Esempio: f(x) = x² · sin(x) ha derivata f'(x) = 2x · sin(x) + x² · cos(x).
3. Quoziente
(f / g)' = (f' · g − f · g') / g². Esempio: f(x) = sin(x) / x ha derivata f'(x) = (cos(x) · x − sin(x)) / x².
4. Catena (composizione)
[f(g(x))]' = f'(g(x)) · g'(x). Esempio: f(x) = sin(3x²) ha derivata f'(x) = cos(3x²) · 6x.
Esempio svolto: derivata di una funzione composta
Calcola la derivata di f(x) = (2x + 3)⁵.
Applico la regola della catena. Pongo u = 2x + 3. Allora f = u⁵ e f' = 5u⁴ · u'. Ma u' = 2, quindi:
f'(x) = 5(2x + 3)⁴ · 2 = 10(2x + 3)⁴
Derivata numerica con la calcolatrice
La maggior parte delle calcolatrici scientifiche (Casio fx-570/991, Sharp EL-W506T) calcola la derivata numerica in un punto, non in forma simbolica. Su Casio:
- Premi
SHIFT+ il tasto integrale (sopra il9) per ottenere il simbolod/dx - Inserisci la funzione, poi
|, poi il punto in cui vuoi calcolare - Esempio:
d/dx(X³) | X = 2→ risultato12(perché3 · 2² = 12)
Per la derivata simbolica (che restituisce una formula, non un numero), serve un sistema CAS come WolframAlpha, Maxima, Maple o le calcolatrici TI-Nspire CAS / HP Prime.
A cosa servono le derivate
- Studio di funzione: trovare massimi, minimi e flessi (dove
f'(x) = 0). - Velocità e accelerazione: in fisica, la velocità è la derivata della posizione rispetto al tempo, l'accelerazione è la derivata della velocità.
- Ottimizzazione: in economia, massimizzare il profitto significa trovare il punto in cui la derivata della funzione di profitto si annulla.
- Tasso di variazione: in epidemiologia, la derivata del numero di contagi rispetto al tempo dà il tasso di crescita dell'epidemia.
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f'(x) = 0
Nota: questa pagina è una sintesi didattica. Per il calcolo simbolico di derivate complesse usa WolframAlpha o un altro CAS.